# Hypercube Latin

L’Hypercube Latin est une technique d’échantillonnage adaptée au calcul d’incertitude, permettant de réduire le nombre d’échantillons par rapport à une technique de Monte Carlo. Il est désigné par LHS pour Latin Hypercube Sampling.

Le principe est :

- de diviser l’intervalle de variation de chaque paramètre en un nombre égal n de sous-intervalles équiprobables

- de sélectionner aléatoirement une valeur dans chacun de ces sous-intervalles

- de construire n échantillons par permutation aléatoire de manière que chaque sous-intervalle de chaque paramètre soit représenté une et une seule fois.

La Figure 169 propose une représentation schématique de cet échantillonnage dans le cas de deux paramètres et de 5 échantillons.

Figure 169 Représentation bidimensionnelle d’un échantillonnage par Hypercube Latin dans le cas de deux paramètres et de 5 échantillons (n=5). X1 a une “distribution normale entre A1 et B1, X2 une distribution uniforme entre A2 et B2

Pour définir les n sous-intervalles équiprobables de chaque densité de probabilité, il suffit de diviser l’image de la fonction de répartition correspondante en autant d’intervalles réguliers, puis d’inverser la fonction de répartition.

## Loi uniforme ou log-uniforme

Dans le cas d’une loi uniforme ou log-uniforme dans l’intervalle [A,B], l’inversion est immédiate :

\[\begin{split} \begin{cases} X=A+r\left(B-A\right)\\ \ln X=\ln A+r\left(\ln B-\ln A\right) \end{cases} \end{split}\]

où r désigne un nombre généré aléatoirement dans chacun des n intervalles réguliers échantillonnant [0,1].

Un exemple est fourni Figure 170, dans le cas de 5 échantillons et d’une distribution uniforme entre A2 et B2.

Figure 170 Correspondance entre les intervalles échantillonnés d’une part, la densité de probabilité et la fonction de répartition d’autre part. Exemple avec n=5 , distribution uniforme entre A2 et B2.

## Loi normale ou log-normale

Dans le cas d’une loi normale (ou log-normale), l’inversion est plus complexe et utilise la fonction erreur définie par :

\[ erf\left(x\right)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}dt \]

qui est classiquement tabulée et disponible dans des librairies informatiques.

En effet, la fonction de répartition d’une distribution normale de moyenne \mu et d’écart-type \sigma s’écrit :

\[ F_{\mu,\sigma}\left(x\right)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{\left(t-\mu\right)^{2}}{2\sigma^{2}}}=\frac{1}{2}\left[1+erf\left(\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}}\right)\right] \]

d’où :

\[ x=\mu+\sigma\sqrt{2}\: erf^{-1}\left(2z-1\right) \]

où z désigne une valeur tirée aléatoirement dans chacun des sous-intervalles décomposant l’image de la fonction de répartition.

Dans la pratique, plutôt que de préciser les paramètres \(\mu\) et \(\sigma\) de la loi normale, on préfère souvent imposer les bornes A et B de l’intervalle de variation du paramètre, définies comme les quantiles 0,001 et 0,999 respectivement. On a ainsi :

\[ B=\mu+\sigma\sqrt{2}\: erf^{-1}\left(0,998\right)=\mu+3,09\:\sigma \]

puis, comme: \(\mu=\frac{A+B}{2}\) :

\[ \sigma=\frac{B-A}{2\sqrt{2}\: erf^{-1}\left(0,998\right)}=\frac{B-A}{6,18} \]

Un exemple est fourni :Figure 171, dans le cas de 5 échantillons et d’une distribution normale entre A1 et B1.

Figure 171 Correspondance entre les intervalles échantillonnés d’une part, la densité de probabilité et la fonction de répartition d’autre part. Exemple avec n=5 , distribution normale entre A1 et B1.